Буклет на тему «разбиение множеств на классы»

Отношение эквивалентности делит множество на непересекающиеся классы. Внутри каждого класса все элементы считаются эквивалентными по заданному признаку.

• Классом эквивалентности элемента a называют множество всех элементов, эквивалентных a.

• Один и тот же элемент не может принадлежать двум разным классам эквивалентности.

• Объединение всех классов даёт исходное множество.

Разбиение множества — это система непустых подмножеств, которая покрывает всё множество и не содержит пересечений.

• Если на множестве задано отношение эквивалентности, то оно задаёт разбиение на классы.

• Если есть разбиение, то можно определить отношение: два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же блоке.

• Поэтому разбиения и отношения эквивалентности взаимно однозначно связаны.

Самый наглядный пример — сравнение целых чисел по остатку от деления на 3. Тогда 0, 3, 6, 9 образуют один класс, 1, 4, 7 — второй, а 2, 5, 8 — третий. Сколько бы ни было чисел, они всегда распределяются ровно по этим трём классам.

В математике класс эквивалентности часто записывают как [a]. Это означает «все элементы, эквивалентные a».

• Для цветов мячей по признаку «одинаковый цвет» каждый цвет образует свой класс.

• Для многоугольников класс можно задать по равенству числа сторон или по равенству площади.

• В алгебре классы вычетов по модулю n — это классы эквивалентности по сравнению остатков.

Фактормножество — это множество всех классов эквивалентности, полученных из заданного отношения.

• Оно обозначается как множество блоков разбиения и состоит не из элементов исходного множества, а из самих классов.

• Каждый блок разбиения непустой и не пересекается с другими блоками.

• Если два элемента попали в один класс, то они эквивалентны между собой и только между собой.