Буклет на тему «разбиение множеств на классы»

Разбиение множества — это представление множества как объединения непустых попарно непересекающихся подмножеств. Каждый элемент исходного множества входит ровно в один класс.

• Такое разбиение задаётся отношением эквивалентности: рефлексивным, симметричным и транзитивным.

• Если два элемента эквивалентны, они принадлежат одному классу; если неэквивалентны — разным.

Класс эквивалентности элемента — это все элементы множества, эквивалентные ему по заданному отношению. Обозначают его [a] или через имя элемента.

• Например, при сравнении по остатку от деления на 3 в одном классе оказываются числа, дающие одинаковый остаток: 0, 3, 6; 1, 4, 7; 2, 5, 8.

• Классы эквивалентности не пересекаются и вместе покрывают всё множество.

• Поэтому каждое отношение эквивалентности автоматически задаёт разбиение множества на классы.

У одного и того же множества может быть много разных разбиений. Например, множество студентов можно разбить по курсам, по факультетам или по форме обучения — в математике каждый такой способ соответствует своему отношению эквивалентности.

Отношение эквивалентности в математике фиксирует, какие элементы считать «одинаковыми» в рамках выбранного признака. Сам признак задаёт правило сравнения элементов.

• Для любого элемента a его класс содержит самого a, потому что отношение эквивалентности рефлексивно.

• Если a эквивалентен b, то их классы совпадают: [a] = [b].

• Если элементы не эквивалентны, их классы не имеют общих элементов.

Разбиение множества и отношение эквивалентности взаимно определяют друг друга. Зная одно, можно восстановить другое.

• Если дано разбиение, то два элемента называют эквивалентными тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же классе.

• Совокупность всех классов эквивалентности называют фактор-множеством или множеством классов.

• В алгебре и логике этот приём используют для объединения объектов, которые различаются несущественными для задачи признаками.