Буклет на тему «Разбиение множеств на классы»

Разбиение множества — это представление набора элементов как системы непересекающихся непустых подмножеств, которые вместе дают всё исходное множество. Каждый элемент принадлежит ровно одному классу.

• Такое разбиение называют также семейством классов эквивалентности, если оно задаётся отношением эквивалентности.

• Классы не пересекаются: если два элемента попали в один класс, то они считаются эквивалентными между собой.

Чтобы разбиение появилось естественно, на множестве задают отношение эквивалентности. Оно должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным.

• Класс эквивалентности элемента — это все элементы множества, которые эквивалентны этому элементу.

• Для каждого элемента его класс либо совпадает с другим классом, либо не имеет с ним общих элементов.

• Все классы эквивалентности вместе покрывают всё множество целиком.

Если считать одинаковыми числа с одинаковым остатком при делении на 3, то целые числа распадаются на три класса: остаток 0, остаток 1 и остаток 2. Один и тот же набор чисел можно разбить по-разному — всё зависит от того, по какому признаку их сравнивают.

При разбиении на классы каждый элемент попадает ровно в один класс, поэтому пересечение любых двух разных классов пусто.

• Если два элемента эквивалентны, то они лежат в одном классе; если нет — в разных.

• По любому разбиению можно восстановить отношение эквивалентности: два элемента считают эквивалентными тогда и только тогда, когда они находятся в одном и том же классе.

• Такое соответствие между разбиениями и отношениями эквивалентности — основной факт этой темы.

Пример с арифметикой — сравнение по модулю. Числа разбиваются на классы по одинаковому остатку при делении на заданное число.

• В геометрии точки можно разбить на классы по принадлежности одному и тому же типу фигур или по равенству координат с выбранной точностью.

• В школьной математике часто рассматривают разбиение натуральных чисел на чётные и нечётные. Это два класса, которые не пересекаются и вместе дают все натуральные числа.

• Фактормножество — это множество всех классов эквивалентности, полученных из исходного множества.